等比數列前n項和公式推導
等比數列是指一個數列中任意相鄰兩項的比值都相等的數列，這個比值被稱為等比數列的公比，通常用字母 \( r \) 表示。等比數列的通項公式是 \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \)，其中 \( a_n \) 是第 \( n \) 項，\( a_1 \) 是首項。
等比數列前 \( n \) 項和的公式推導可以通過錯位相減法來完成，下面是一個簡化的推導過程：
1. 假設等比數列的首項為 \( a_1 \)，公比為 \( r \)，則該數列的前 \( n \) 項和 \( S_n \) 可以表示為：
\[ S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \ldots + a_1r^{n-1} \]
2. 將 \( S_n \) 乘以公比 \( r \) 得到：
\[ rS_n = a_1r + a_1r^2 + a_1r^3 + \ldots + a_1r^n \]
3. 將原始的 \( S_n \) 和 \( rS_n \) 相減，得到：
\[ S_n - rS_n = a_1 - a_1r^n \]
4. 簡化上式，得到：
\[ S_n(1 - r) = a_1(1 - r^n) \]
5. 當 \( r \neq 1 \) 時，可以將 \( S_n \) 單獨解出：
\[ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \]
6. 當 \( r = 1 \) 時，數列的每一項都相等，前 \( n \) 項和簡化為：
\[ S_n = na_1 \]
所以，等比數列前 \( n \) 項和的公式為：
\[ S_n = \begin{cases}
na_1 & \text{if } r = 1 \\
\frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} & \text{if } r \neq 1
\end{cases} \]
這個公式可以用來計算任何等比數列的前 \( n \) 項和，只要知道首項 \( a_1 \) 和公比 \( r \)。
等比數列公式大全圖片
等比數列的公式是高中數學中的一個重要概念，以下是等比數列的一些基本公式，這些信息主要來源于您提供的網上：
1. 定義式：一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比值是一個常數，這個數列就是等比數列，這個常數稱為等比數列的公比，記作 \( r \)。
2. 通項公式：等比數列的第 \( n \) 項可以表示為 \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \)，其中 \( a_1 \) 是數列的第一項，\( r \) 是公比，\( n \) 是項數。
3. 求和公式：
- 當公比 \( r \neq 1 \) 時，前 \( n \) 項和 \( S_n \) 可以表示為 \( S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \)。
- 當公比 \( r = 1 \) 時，前 \( n \) 項和 \( S_n \) 為 \( S_n = n \cdot a_1 \)。
4. 等比中項：如果存在一個數 \( G \) 滿足 \( G^2 = a \cdot b \)，則 \( G \) 是 \( a \) 和 \( b \) 的等比中項。
5. 無窮遞縮等比數列求和：對于公比的絕對值小于 1 的無窮等比數列，其和 \( S \) 可以表示為 \( S = \frac{a_1}{1 - r} \)。
6. 性質：
- 在等比數列中，若 \( m, n, p, q \in N^* \) 且 \( m + n = p + q \)，則 \( a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q \)。
- 一個正項等比數列與等差數列是“同構”的，即它們有相似的性質。
7. 應用：等比數列在實際生活中有廣泛應用，例如銀行的復利計算，公式為 \( 本利和 = 本金 \times (1 + 利率)^{存期} \)。
上述公式中的 \( a_n \) 表示等比數列的第 \( n \) 項，\( a_1 \) 表示等比數列的第一項，\( r \) 表示公比，\( n \) 表示項數。這些信息綜合了您提供的網上中的等比數列公式。如果您需要更詳細的解釋或有其他問題，請告知。
等比數列基本的5個公式
等比數列是數學中的一種數列，其中每一項都是前一項的常數倍，這個常數被稱為等比數列的公比。等比數列的基本公式通常包括以下幾個：
1. 通項公式：\[a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\]
其中，\(a_n\) 是第 \(n\) 項，\(a_1\) 是首項，\(r\) 是公比，\(n\) 是項數。
2. 求和公式（前 \(n\) 項和）：\[S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r}\]
當 \(r \neq 1\) 時，等比數列的前 \(n\) 項和 \(S_n\) 可以用此公式計算。
3. 無窮等比數列求和公式（當 \(|r| < 1\)）：\[S = \frac{a_1}{1 - r}\]
對于無窮等比數列，如果公比 \(r\) 的絕對值小于 1，則數列的和 \(S\) 可以用此公式計算。
4. 等比中項公式：如果 \(x\) 和 \(y\) 成等比關系，即 \(x = y \cdot r\)，則 \(z\) 為 \(x\) 和 \(y\) 的等比中項，滿足 \(z^2 = xy\)。
5. 等比數列的性質：
- 相鄰項的比值相等：\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = r\]
- 對于任意正整數 \(k\)，有 \(a_{n+k} = a_n \cdot r^k\)
這些公式是解決等比數列問題的基礎，可以用于計算數列的各項以及數列的和。
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